1次元無限井戸型ポテンシャルにおけるSchrödinger方程式の一般解とエネルギー固有値

1次元無限井戸型ポテンシャルにおけるSchrödinger方程式を解く．

$V=\{\begin{array}{ll}\mathrm{\infty }& (x<0,L<x)\\ 0& (0<x<L)\end{array}$

定常状態のSchrödinger方程式は以下の通り．

$-{\displaystyle \frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^2}{{\partial }^{2}x}\psi (x)=E\psi (x)}$

$\psi (x)=e^{\alpha x}$は定常状態のSchrödinger方程式の特解であり，係数比較して

$-{\displaystyle \frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^2}{{\partial }^{2}x}{\alpha }^2=E\therefore \alpha =\pm \frac{i\sqrt{2mE}}{\hslash }\equiv \pm i\kappa }$

定常状態のSchrödinger方程式の一般解は上記の特解の線型結合として得られて，

$\begin{array}{rl}\psi (x)& =A{e}^{i\kappa }+B{e}^{-i\kappa }\\ & =A(\cos \kappa x+i\sin \kappa x)+B(\cos \kappa x-i\sin \kappa x)\\ & =i(A-B)\sin \kappa x+(A+B)\cos \kappa x\end{array}$

ここで，$A\equiv A+B,B\equiv i(A-B)$としてもよい．

$\therefore \psi (x)=A\cos \kappa x+B\sin \kappa x$

これが周期境界条件$\psi (0)=\psi (L)=0$を満足するので，

$\{\begin{array}{l}A=0\\ B\sin \kappa L=0\end{array}$

${\displaystyle \therefore \psi (x)=B\sin k_{n}x,k_n=\frac{n\pi }{L}}$

ここで，$n$は0より大きな自然数．$\because n=0$のとき常に$\psi (x)=0$は自明．

規格化条件${\int }_0^L{|\psi (x)|}^{2}dx=1$より，

$\begin{array}{rl}{\int }_0^L{|\psi (x)|}^{2}dx& ={\int }_0^L{B}^2{\sin }^2{k}_{n}xdx\\ & ={\int }_0^L{B}^2\frac{1-{\cos }^2{k}_{n}x}{2}dx=\frac{B^{2}L}{2}=1\end{array}$

${\displaystyle \therefore B=\pm \sqrt{\frac{2}{L}}}$を得るが，$-B=e^{i\pi }B$より，波動関数の位相変化は物理的に無意味であるから，${\displaystyle B=\sqrt{\frac{2}{L}}}$を選んでよい．

定常状態のSchrödinger方程式に戻って，

${\displaystyle E_n=\frac{{\hslash }^2{k_n}^2}{2m}=\frac{n^2{\pi }^2{\hslash }^2}{2m{L}^2}}$

${\displaystyle \psi (x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin k_{n}x=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \frac{n\pi }{L}x}$

このように，整数$n=1,2,3,\cdots$でただ1つ定められる$E_n$をエネルギー固有値という．

また，$n=1$のときのエネルギー固有値を，その系における零点エネルギー，または零点振動エネルギーという．零点エネルギーは，井戸型ポテンシャルでは常に0より大きい．

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